Compacité, Connexité - Introduction à la topologie

Collection : Bien Maîtriser les MathématiquesCet ouvrage est une introduction à la topologie. Il s’adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Masters de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d’Ingénieurs, ainsi qu’aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l’Agrégation de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline.Sont abordées dans ce fascicule, les notions de compacité et de connexité dans les espaces topologiques généraux, puis dans les espaces métriques et les espaces normés. Les exercices proposés permettent au lecteur de maîtriser un large spectre d’exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s’engager dans des études plus avancées.Table des matièresPréface1 Prérequis1.1 Espaces topologiques1.1.1 Définitions1.1.2 Topologie induite, topologie produit1.1.3 Suite dans un espace topologique1.2 Espaces métriques1.2.1 Boules1.2.2 Topologie d’un espace métrique1.2.3 Suite dans un espace métrique1.3 Espaces vectoriels normés1.4 Fonctions continues, le cadre topologique1.4.1 Limite d’une application en un point1.4.2 Continuité d’une application en un point1.5 Fonctions continues, le cadre métrique1.5.1 Limite d’une fonction en un point1.5.2 Continuité2. Compacité2.1 Rappels de cours2.1.1 Définitions et propriétés élémentaires2.1.2 Parties compactes d’un espace topologique2.1.3 Applications continues2.1.4 Espaces localement compacts2.1.5 Espaces métriques compacts2.1.6 Une généralisation : la notion de précompacité2.1.7 Convergence uniforme de suites d’applications2.2 Exercices - Espaces topologiques compacts2.3 Exercices - Espaces métriques compacts3 Connexité 3.1 Rappels de cours 3.1.1 Définitions et premières propriétés 3.1.2 Composantes connexes 3.1.3 Espaces localement connexes 3.1.4 Connexité par arcs 3.2 Exercices - Connexité, connexité locale 3.3 Exercices - Connexité par arcs